mercredi, 17 juillet 2024

Deux lycéens découvrent une preuve « impossible » du théorème de Pythagore

Lorsqu’un résultat existe depuis aussi longtemps que celui que nous appelons maintenant le théorème de Pythagore – il a peut-être au moins 4 000 ans, au dernier décompte – vous pouvez vous attendre à ce qu’il n’y ait pas beaucoup de marque -nouveau à dire à ce sujet. Mais comme deux lycéens de la Nouvelle-Orléans l’ont peut-être révélé, il y a toujours plus à apprendre – et dans ce cas, c’est quelque chose que la plupart des mathématiciens avaient barré comme impossible pendant des siècles.

« Dans le 2 000 ans après la découverte de la trigonométrie, on a toujours supposé que toute preuve supposée du théorème de Pythagore basée sur la trigonométrie devrait être circulaire », commence le résumé de la conférence donnée par Ne’Kiya Jackson et Calcea Rujean Johnson à l’American Mathematical Society Spring Southeastern Sectional Exécution le 18 mars 2023.

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« Mais ce n’est pas tout à fait réel », affirment-ils. « Dans notre conférence, nous présentons une toute nouvelle preuve du théorème de Pythagore qui est basée sur une piste fondamentale de la trigonométrie – la loi des sinus – et nous révélons que la preuve est indépendante de l’identité trigonométrique de Pythagore sin2x cos2x = 1. « 

C’est un résultat qui a plutôt fait sensation dans le milieu des mathématiques. « Pour ma part, je suis tellement excité que deux lycéens ont eu la capacité de créer cela », déclare YouTuber MathTrain dans une vidéo actuelle sur la preuve. « Il est difficile de trouver de nouvelles idées dans un domaine aussi fréquenté que ce théorème, donc je suis ravi de voir l’article complet lorsqu’il sera lancé. »

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Alors, qu’est-ce qui fait que les mathématiciens sont si enthousiastes à propos de cette toute nouvelle preuve ? Rappelons-nous ce que dit précisément le théorème de Pythagore : fourni un triangle rectangle, avec 2 côtés étiquetés a et b et le côté le plus long identifié c, le Théorème nous informe que

a2b2=c2.

Le théorème de Pythagore mentionne que pour un triangle rectangle, a2 b2=c2. Crédit d’image : © IFLScience

Il y a en fait eu littéralement de nombreuses preuves de ce petit fait présenté au cours des siècles, allant de la géométrie facile démonstrations de calculs utilisant des différentiels ou des nombres compliqués.

Très peu de ces preuves, néanmoins, reposent sur la trigonométrie – c’est-à-dire l’étude de recherche des angles et des rapports de longueurs dans les figures géométriques. Il y a un bon facteur pour cela : la plupart des directives essentielles de la trigonométrie sont elles-mêmes basées sur le théorème de Pythagore, ce qui signifie qu’une telle preuve finirait probablement par poser la question au lieu d’avoir vraiment un sens.

Comme Johnson et Jackson Soulignons qu’il y a quelques exceptions à cette règle – consistant en le résultat que les mathématiciens connaissent sous le nom de loi des sinus. Si nous identifions l’angle opposé au côté a comme angle A, l’angle opposé au côté b comme angle B, et l’angle opposé au côté c comme angle C, alors la loi des sinus dit que

sinA/ a = sinB/b = sinC/c.

La loi des sinus s’applique à tous les triangles, pas seulement aux rectangles. Crédit image : © IFLScience

Bien qu’il s’agisse essentiellement d’une relation trigonométrique, la fonction sinus est définie comme le rapport entre 2 côtés d’un triangle rectangle, après tout, vous n’avez besoin de rien de plus avancé que la géométrie standard pour afficher cette formule. Cela implique qu’il est vrai séparément du théorème de Pythagore – et il peut donc être utilisé comme base de preuve sans déclencher de maux de tête logiques.

Jusqu’ici, tout va bien, mais comment exactement l’ensemble a-t-il de mathématiciens en herbe suivent ici? Malheureusement, puisque la preuve a été livrée sous forme de discussion plutôt que d’article, elle n’a pas été publiée – mais heureusement pour nous, une station d’information locale rendant compte de l’accomplissement des dames a montré quelques-unes de leurs diapositives, et des mathématiciens en ligne passionnés ont actuellement sauté à la possibilité de déterminer eux-mêmes la nouvelle preuve possible.

« En zoomant sur les diapositives que vous pouvez visionner dans le cadre de la vidéo, vous pouvez en fait reconstruire la preuve assez facilement », décrit MathTrain. « Cela ne m’a pris qu’environ une heure… c’est assez amusant à faire. »

La preuve que MathTrain continue de montrer est aussi simple que belle. Au départ, nous construisons un triangle rectangle – probablement l’étape principale de toute preuve du théorème de Pythagore – et identifions les côtés et les angles. Jusqu’à présent, si basique.

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L’étape suivante est celle où les choses deviennent plus intrigantes. Nous ajoutons d’autres triangles au diagramme : d’abord, nous doublons le triangle initial en ajoutant son image miroir sur un côté ; puis nous étendons l’hypoténuse de ce triangle miroir jusqu’à ce qu’il se connecte avec une ligne perpendiculaire à l’hypoténuse initiale.

Le résultat est un nouveau triangle rectangle– un avec des longueurs de côté c, x et hypoténuse z. Mais le secret de la preuve ne réside pas dans cette figure plus grande, mais dans les plus petites qui la remplissent.

« La dernière partie de l’édifice consiste à subdiviser ce grand triangle en de nombreux triangles idéaux plus petits avec sont tous comparables à l’original que nous avons dessiné », décrit MathTrain. « Johnson et Jackson notent que le rapport entre les triangles successifs au fur et à mesure que vous descendez cette descente illimitée est a/b pour chaque triangle. »

D’ici, nous pouvons voir que les longueurs x et z sont simplement les montants des hypoténuses de ces triangles successifs. Et ce serait fantastique – à part ça, bien sûr, il y en a certainement beaucoup à accumuler.

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Et nous sautons donc dans le monde des séries illimitées – dans ce cas, des séries géométriques illimitées. Heureusement, ceux-ci sont bien étudiés et assez simples à gérer, et une formule simple nous informe des longueurs dont nous avons besoin : nous découvrons que

x = c/b2-a 2 2ab

et

z = c/b2-a 2 (a2 b2).

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Il est facile de voir que ces formules sont tout à fait comparables les unes aux autres– « si similaires, en fait, que si nous prenons leur quotient, ces 2 aspects s’annuleront, et il nous restera simplement 2 ab/a2 b2″, mentionne MathTrain.

Comment arriver. Crédit image : © IFLScience

Et maintenant, enfin, la loi des sinus entre en jeu. Au sens de la fonction sin, nous comprenons que x/z est égal à sin(2A)– et en appliquant la loi de Sinus du triangle développé par notre triangle rectangle initial plus son image miroir, nous pouvons voir que sin(2A) est à son tour égal à 2ab/c2.

Cela nous laisse avec quelque chose qui ressemble actuellement étrangement au théorème de Pythagore :

Pouvez-vous voir encore? Crédit image : © IFLScience

Et certainement, un simple réarrangement et une annulation révèlent que l’équation était là depuis le début.

Ta-dah ! Crédit image : © IFLScience

« Bien que je ne sois pas sûr que ce soit exactement ainsi que Johnson et Jackson ont fait la preuve, [ celui-ci… doit être assez comparable d’après les reportages que j’ai vus », déclare MathTrain. « Les théorèmes les plus significatifs sur lesquels j’ai vu cela étaient le théorème angle-angle et la loi des sinus, qui ont tous deux des preuves totalement indépendantes du théorème de Pythagore. »

Naturellement, comme tout argument mathématique , les preuves devront être examinées par des pairs avant d’être officiellement acceptées – mais les calculs, au moins, semblent étanches. Le couple a été motivé par l’American Mathematical Society pour envoyer leur résultat pour une telle évaluation, Catherine Roberts, directrice exécutive de l’AMS, déclarant au Guardian que cela permettrait « aux membres de notre communauté [d’analyser] leurs résultats [et ] déterminer si leurs preuves sont une bonne contribution à la littérature mathématique. »

« [L’AMS] célèbre [s] ces mathématiciens de la première profession pour avoir partagé leur accord avec la communauté mathématique au sens large », a ajouté Roberts. « Nous les motivons à poursuivre leurs études de recherche en mathématiques. »

Quant à Johnson et Jackson, le couple est vraiment ravi de leur réussite. « Il n’y a rien de tel – avoir la capacité de faire quelque chose que les gens ne pensent pas que les jeunes puissent faire », a déclaré Johnson à la station d’information régionale WWL de la Nouvelle-Orléans.

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« Vous ne voyez pas des enfants comme nous faire ça », a-t-elle dit, « C’est généralement, comme , tu dois être majeur pour faire ça. »

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