Vous êtes-vous déjà demandé pourquoi les employés de Google investissent autant de temps à essayer de calculer onze milliards de chiffres de pi ? Pourquoi un nombre comme un tiers peut être si simple à écrire sous forme de fraction, mais impossible à écrire en type décimal ? Ou pourquoi y a-t-il un nombre qui s’appelle simplement « e » ?
Eh bien, nous avons les réponses, mais attention : les choses vont devenir un peu déraisonnables.
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Que sont les chiffres déraisonnables ?
Que vous ayez entendu ou non le terme « illogique chiffres », vous comprendrez certainement déjà quelques exemples. Pi, par exemple, est probablement le plus célèbre de tous : le rapport entre le diamètre d’un cercle et sa circonférence. Ensuite, il y a e – pas la lettre, mais le chiffre, que l’on voit pratiquement partout où les individus mesurent leur croissance ou leur déclin, documentent la plus belle chose possible ou (de manière assez appropriée) deviennent psychopathes.
La racine carrée de deux, alias √ 2, est également illogique, tout comme son voisin d’à côté (nous y reviendrons) √ 3. La racine carrée de quatre, cependant, ne l’est certainement pas. . Une croissance décimale illimitée de n’importe quel nombre – 0,111…, 0,222…, 0,333…, et ainsi de suite — aucun de ceux-ci n’est déraisonnable. Mais 0,123456789101112… ? Donc illogique.
Comment comprendre ? Eh bien, les nombres illogiques – et leurs opposés, les nombres rationnels – se distinguent simplement par une propriété résidentielle ou commerciale : peuvent-ils être écrits comme un rapport de deux nombres entiers ?
« Les nombres les plus simples que nous ayons ce que nous savons, ce sont simplement les nombres entiers : un, 2, trois, 4, et ainsi de suite », décrit le théoricien des nombres (et médaillé Fields !) James Maynard dans une vidéo de 2019 pour Numberphile.
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« Les nombres logiques sont un peu plus compliqués, qui sont simplement des rapports ou des fractions de nombres entiers », poursuit-il. « Donc, une moitié, un tiers, 2 tiers… »
Avec cette explication, vous ne serez peut-être pas surpris d’apprendre qu’un nombre déraisonnable est donc celui qui ne peut pas être écrit comme une partie de deux nombres entiers. Prenez pi, par exemple : il est possible que vous l’ayez vu exprimé par le nombre 3,14, ou si vous vous sentez particulièrement archimédien, par la portion 22/7. Cependant, aucune de ces méthodes n’est exacte : en réalité, il n’existe qu’une seule méthode pour composer exactement la valeur de pi, et elle ressemble à ceci : π.
« Nous avons en fait prouvé qu’il est impossible de la composer. comme simplement un rapport de deux nombres entiers », explique Maynard. « Et en réalité […] dans de nombreuses méthodes, la plupart des nombres ne peuvent pas être écrits comme un simple rapport de 2 nombres entiers. »
À quoi ressemblent les nombres irrationnels ?
Maintenant que nous savons ce que sont les nombres illogiques — et ce qu’ils ne sont pas — comment pouvons-nous les identifier dans la nature ?
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Eh bien, un bon indice est quand– comme pi, e, phi, tau et tant d’autres– ils ne le sont pas composé à l’aide de chiffres, mais de lettres (bien que régulièrement grecques). Ce n’est cependant pas toujours le cas : les constantes physiques sont souvent signifiées exactement de la même manière, et elles ne peuvent pas être déraisonnables, étant donné qu’elles proviennent de la nature et non de la logique.
Une autre indication révélatrice qu’un nombre pourrait être irrationnel est lorsque sa croissance décimale est suivie d’un point-point-point. « Ce que [une] expression [comme 3,14159…] dit, c’est : j’ai de nombreuses approximations diverses du nombre pi, qui deviennent de plus en plus précises », explique Maynard.
« Donc, peut-être qu’une première approximation est que pi est à peu près égal à 3, puis une deuxième approximation est que pi est à peu près équivalent à 3,1, ce qui est 31/10, et après cela une meilleure approximation est que pi est à peu près équivalent à 314/100, 3,14, etc. », explique-t-il. « C’est vraiment ce que nous entendons par un nombre déraisonnable ; nous ne pouvons pas simplement le spécifier de manière unique dans une méthode très simple, mais nous pouvons le définir par la séquence d’approximations de base. »
Cependant, encore une fois, c’est loin d’être infaillible. Toute croissance décimale avec un motif de duplication, par exemple, est raisonnable : 0,333… est égal à 1/3, donc c’est rationnel ; 0,857142857142857142 … équivaut à 6/7, donc c’est rationnel ; 1.982456140350877192982456140350877192982456140350877192– il se répète tous les 18 chiffres, si vous ne le trouvez pas– équivaut à 113/57, donc encore une fois, c’est logique.
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Les racines carrées sont souvent déraisonnables – en fait, il est prouvé que la racine carrée de tout nombre premier l’est. — tout comme la plupart des racines générales. Sans doute, encore une fois, cela n’est pas toujours réel : la racine carrée de tout nombre carré est rationnelle, par exemple, tout comme la nième racine de toute nième puissance.
Et puis il y a la poignée d’exemples apparemment aléatoires que les mathématiciens ont appris avec la méthode – dont beaucoup ont une notation très spécifique qui vient directement de la façon dont ils ont été créés au premier endroit. La grande majorité des nombres irrationnels n’ont pas de notation particulière pour les identifier. La seule façon de savoir avec certitude s’ils sont illogiques ou non est de le prouver à mains nues. C’est assez difficile, c’est pourquoi certains chiffres qui, selon vous, devraient vraiment être irrationnels, sont techniquement encore sujets à débat.
Pourquoi ne le seraient pas on prend la peine de leur donner à tous des noms utiles, comme pi ? Eh bien…
Il existe un certain nombre de nombres illogiques ?
Tous les infinis sont illimités, mais certains infinis sont plus grands que d’autres. Et malheureusement, pour quiconque souhaite énumérer tous les chiffres déraisonnables, il y en a… eh bien, il y en a en fait trop nombreux pour les compter.
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« Tout le monde comprend – ou fait semblant de comprendre – la distinction entre être limité et être illimité », déclare Justin Moore, professeur de mathématiques à Cornell, dans le livre de Quanta Publication. Podcast The Joy of Why. » [] pour un ensemble illimité, vous pouvez faire des distinctions supplémentaires. Vous pouvez faire la distinction entre ce qu’on appelle dénombrable et après cela ce qu’on appelle être indénombrable. »
Pour ceux qui ne l’ont pas fait. Après avoir étudié les mathématiques après le lycée, le nom pourrait être trompeur – après tout, comment quelque chose d’infini peut-il être « dénombrable » ? Cependant, le terme « indique simplement que vous pouvez attribuer un nombre naturel à chaque composant de l’ensemble afin qu’aucun nombre naturel ne soit utilisé deux fois », décrit Moore. « Donc, les nombres naturels [c’est-à-dire les nombres entiers favorables] sont certainement dénombrables puisqu’ils se comptent eux-mêmes. »
Mais qu’en est-il des nombres rationnels et irrationnels ? À première vue, il semble évident qu’il existe plus de nombres rationnels que de nombres naturels. Après tout, vous disposez d’un nombre illimité de numérateurs potentiels, et pour chacun d’eux, d’un nombre illimité de dénominateurs également. ! Voici ce qui est surprenant : les 2 ensembles – les nombres naturels et les nombres logiques – ont en fait exactement la même taille.
« C’est vraiment assez facile à voir quand on y réfléchit », dit Moore. , « puisque vous pouvez simplement lister toutes les portions avec un dénominateur 1 – ou un numérateur et un dénominateur valant au plus 1. Et après cela, à la majorité de 2, à la majorité de 3, à la majorité de 4. Et à chaque étape , il n’y a qu’un nombre fini de fractions où le numérateur et le dénominateur ont au moins une magnitude d’au plus n. Et après cela, vous pouvez fatiguer tous les rationnels de cette méthode. »
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Des chiffres irrationnels ? Eh bien, c’est une autre histoire : « les nombres réels, l’ensemble des nombres décimaux, sont vastes », décrit Moore. « Si vous me remettez une liste, une liste supposée de tous les éléments sur [la droite numérique], il existe un traitement appelé argument diagonal, qui vous permet de produire un tout nouveau point qui est sur la droite, mais pas sur votre liste. »
Qu’est-ce que cela signifie, en pratique ? Fondamentalement, lorsque vous regardez la droite numérique et que vous vous demandez « quelle partie de celle-ci est constituée de nombres illogiques ? » la réponse est, à toutes fins utiles, 100 pour cent. Le fait qu’en réalité beaucoup de points soient rationnels n’a pas vraiment d’importance — il y a encore de nombreux nombres plus illogiques qui, dans le grand plan des choses, les rationnels peuvent tout aussi bien ne pas exister du tout.
Pourquoi devrais-je me soucier des nombres illogiques ?
Si c’est tout cela semble un peu abstrait et inutile, alors… eh bien, bienvenue dans les mathématiques pures. Mais ce n’est pas parce que nous ne pourrons jamais documenter la valeur exacte d’un nombre irrationnel à l’aide de chiffres qu’ils ne sont pas importants : « pi, par exemple, était traditionnellement essentiel aux ingénieurs pour réaliser des petits éléments d’architecture particuliers, » Maynard explique, » et ils exigeaient de le connaître avec un certain niveau de précision. «
Que faisons-nous ? « Vous pouvez simplement vous rapprocher d’une position numérique donnée par un nombre raisonnable », explique-t-il. Et vous seriez surpris du peu de chiffres que vous devez comprendre : la NASA ne dépasse jamais 15 décimales pour pi, par exemple, même lorsqu’elle calcule les subtilités de la navigation interplanétaire. Même pour mesurer la taille de l’univers entier connu avec une précision équivalente à la taille d’un atome d’hydrogène, vous n’auriez besoin que des 38 premiers chiffres de la constante.
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Pourquoi, alors, demandez-vous peut-être, comprenons-nous en fait la valeur de pi à quelque 100 000 milliards de chiffres ? À vrai dire, la réponse est… parce que nous le pouvons.
« C’est un défi informatique », a déclaré au Guardian David Harvey, professeur associé à l’Université de Nouvelle-Galles du Sud. « C’est une chose vraiment très difficile à faire, et cela implique beaucoup de mathématiques et de technologie informatique de nos jours. »
« Vous faites du pi puisque tout le monde fait du pi », a-t-il ajouté. Mais comme nous l’avons vu, cette constante aux sonorités dessert n’est qu’une vague dans un océan infini d’impraticabilité. Il est peut-être temps pour ces informaticiens de tourner leur attention vers certains des numéros les moins appréciés.
« Il existe de nombreuses autres constantes intéressantes en mathématiques », a expliqué Harvey. « Si vous aimez la théorie des troubles, il y a les constantes de Feigenbaum, si vous aimez la théorie analytique des nombres, il y a la constante gamma d’Euler… [il y a] e, la base du logarithme naturel, vous pouvez déterminer la racine carrée de 2. Pourquoi. .. do pi? »
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